代数的启示


懂西方哲学的都知道,西方哲学深受数学方法(欧氏几何公理化方法)的影响,他们希望一切学科都能像欧氏几何那样建立在简单的几条不证自明的公理基础之上,然后推出整个知识体系。笔者的哲学最初也是受数学方法的启发,只不过笔者主要是受代数的影响,而不是几何的影响。笔者读初二时发现代数实际上是由下面的三根大骨架构成的。

一、代数的三根骨架:

1、同算律:

我发现所谓乘法就是对许多个相同的数相加的一种简约记法,所谓乘方就是对许多个相同的数相乘的一种简约记法,即:

b个a相加简记为a×b a+a+……+a=a×b

b个a相乘简记为a^b a×a×……×a=a^b

我将加法称之谓一阶运算,乘法称之谓二阶运算,乘方称之谓三阶运算。我用一个统一的“米”字符表示运算符号,它上面加一个数字表示运算的阶数,比如,“米”字符上面加一个1表示为一阶运算(,即“+”),“米”字符上面加一个2表示为二阶运算(,即“×”),“米”字符上面加一个3表示为三阶运算(,即“^”)。我认为还应该有比乘方运算更高的四阶运算、五阶运算乃至n阶运算()。

我上面的表示方法用笔写在纸上是非常方便和直观的,但是表示在电脑上则很麻烦。为了适应电脑上的纯文字表示,我改为用[n]表示n阶运算,即a[n]b=c。其中a为底数,中括号为运算包围符,n为运算的阶数,b为底数的个数,c为运算的值。

它的降阶递推式为,a[n]b=a[n-1]a[n-1]a……[n-1]a (b个a)

它的升阶递推式为,a[n]a[n]a……[n]a=a[n+1]b (b个a)

我将代数的这一规律称之谓“同算律”。我还发现了代数的另外两个重要构造原理:通表律和逆算律。

2、通表律:

所谓通表律是指,用一个通用的符号表示某个集合的非具体的元素。比如加法交换律,如果我们只学过1、2、3……等具体的自然数,那么表示加法交换律将很麻烦,只能举例子:

2+3=3+2

5+8=8+5

7+9=9+7

…………

但是如果我们用a、b、c等字母表示非具体的自然数,那么加法交换律将很容易表示:

a+b=b+a

3、逆算律:

所谓逆算律是指,正运算a+b=c,如果我们知道c和b,要求a,那么a=c-b;如果我们知道c和a,要求b,那么b=c-a。减法是加法的逆运算,除法是乘法的逆运算,开方和对数是乘方的逆运算。一种正运算通常有两种逆运算,第一种逆运算我在“米”字符上面加一条横线表示(),电脑上则在运算的阶数前面加一条斜杠表示;第二种逆运算我在“米”字符上面加二条横线表示(),电脑上则在运算的阶数前面加二条斜杠表示。

比如,正运算a[n]b=c,那么第一种逆运算a=c[/n]b,第二种逆运算b=c[//n]a。

由于加法和乘法都满足交换律,因此它们的两种逆运算都是一样的,加法的两种逆运算都是减法,乘法的两种逆运算都是除法。但三阶以上的运算由于不满足交换律,因此它们的两种逆运算是不一样的。

我发现代数的基本骨架是由这三个原理构造的,当然细节部分还需总结更多的构造原理。另外,我们目前的代数只发展到了三阶运算阶段,即乘方和它的两个逆运算--开方和对数运算。还有,正运算都是封闭的,而逆运算一般是开放的,即正运算不会导致数域的扩充,而逆运算则一般会导致数域的扩充。由于我认识到还存在比乘方更高的四阶运算、五阶运算等,所以我只认为复数数域只是代数发展到三阶运算阶段的最大数域,随着对四阶运算、五阶运算等的认识,数域的范围也会随之而扩大。

二、扩展性结论:

经过思考我还得到了这样一个结论,1+1=2是定义,而非公理。即,给定一个单位数“1”(当然也可以写成别的),给定一个运算符“+”,并规定它满足交换律和结合律,再给定一个“=”号。然后,我们将1+1定义为2,即1+1=2;1+1+1定义为3,即1+1+1=3;……。

我的这种思想是以“1”、“+”、“=”为元概念,交换律和结合律为两个基本运算规则,以及“同算律”、“通表律”、“逆算律”为基本扩充规则,而构成的一个纯概念演绎系统。自然数集中的2、3、4、5……等元素都是演绎定义的,而非公理。至于“1”、“+”、“=”这三个元概念,只能归纳定义,而不能演绎定义。

我的这种思想与皮亚诺的自然数公理是不同的。皮亚诺的自然数公理是从“集合”、“后继”、“对映”这三个元概念出发的,以四条或五条公理为基础的。这里的主要区别可以说是整体与个体的视角的区别,皮亚诺是从自然数集这个整体出发的,我则是从“1”、“+”、“=”这些个体出发的。

对于一般阶运算,我还考虑过n为零、负数、小数甚至虚数等的情况。并得到了这样一些有趣结论:

除了一阶运算即加法外,1+1=2。二阶以上的运算,1[n]1=1 (n为大于1的任何自然数)。

对于任一阶运算,2[n]2=4 (n为任何自然数),可以由这个恒等式证明2[n]2=2[n+1]2,而当n为1时,2+2=4。

还有,1[0]1=1+2=3。

随着高二对矛盾论思想的扬弃,以及系统论思想的产生,我进一步认识到一般阶运算是数和数之间通过运算符号建立的一种联系,所以我也曾设想过将代数中的阶运算推广为系统论中表示事物的普遍联系的形式,即如果我们用a、b表示系统的两个个体,用“*”表示个体与个体之间的联系,那么个体a与个体b之间的联系可以表示为a*b。

由于我认识到一个个体可以同时与多个个体发生联系,以及多个个体也可同时发生同种联系,而代数中的阶运算却是一个数只可同时与一个或两个数发生运算,如*b或b*、*b*,及最多只可有两个数同时发生联系,所以我认为目前的代数中的阶运算只是一种最简单的联系形式。

我也曾设想过将代数学扩展为一般联系的数学,后来我认识到计算机中的编程语言其实就体现为这种思想,因此我认为计算机编程语言将逐渐发展为数学的一部分而使其更具有普遍意义。

初二的这一领悟对我后来的许多思想产生过重大影响,这一发现使我很早就认识到代数是一门严谨的演绎体系,是可以不通过任何实践活动而仅凭我上面说的三个原理无限推演下去的。但我很快认识到这种推演虽然能够无限推演下去,却是封闭。因为我当时正在自学微积分(数学分析),我为微积分的广泛实用性所折服,但我发现微积分这么实用的学科却显然无法从我上面所说的三个原理中推演出来。更别说几何学、物理学、化学等学科。这迫使我考虑另外一种方法,即归纳法。

进一步的思考使我认识到,代数的这三个原理也是我从现有的代数中归纳出来的,要想发展新的学问,我们就必须去归纳更多的原理,而归纳所依赖的基本知识的产生是必须依赖于人们的实践活动的,是人们从实践中总结出来的。这一认识使我后来在接触西方哲学时能很容易理解西方哲学的基本精神从而写出《演绎、归纳与宇宙的统一性》等文章。

另外,我将代数和几何对比后,我是明显的更喜欢代数。因为代数不需要任何公理,它是一个纯概念的演绎体系(1+1=2不是公理,而是定义,即我们将1+1定义为2),这才是最极致的演绎系统。而几何的基础却需要一些基本公理。这使我从那时起就有一种不愿承认公理的心理。

再者,虽说以后系统思想的产生使我对代数认识的更为深刻,但我对代数的这种领悟也直接影响了我的系统论思想。

最后,我根据这一领悟形成了“逢三进一”的认识观和发展观,因为我认识到,对加法、乘法、乘方这三阶运算的归纳使我发现了整个阶运算,而不只是四阶运算、五阶运算依次递进。

当然,有人可能认为上面的发现并无实际意义,我想说的是,古希腊哲学与中国哲学的一个重大区别就是古希腊的哲学家不重视理论的实际意义,而只注重理论本身的内在自恰性,正是由于这一点才导致了他们发展出了认识世界的方法并最终导致了近现代科学的产生;中国哲学正因为太注重实用性,难以产生超前的理论(即使产生了也难以被社会接受和认可),所以尽管中国古代的实用技术很发达却无法发展出近现代科学。

另外,在人类早期很难想象乘方运算会有什么实际意义,在虚数刚发现之时人们也很难想象虚数的实际意义,但最终都证明这些发现是很有实际意义的;目前我们虽然很难想象出四阶运算、五阶运算等会有什么实际意义,但我相信人类的发展最终会证明这些高阶运算都是会有实际意义的。还有,即使高阶运算没有任何实际意义,它的逻辑意义和哲学意义也是很明显的,它显示出代数是一门严谨的演绎体系,罗素和怀特海正是由于受到数学的这种启发才创造出数理逻辑的。

三、高德纳箭号表示法:

自从初二产生这一领悟之后我就相信,现代数学肯定应该已经发现了它,我从那时起就开始寻求这方面的知识。最初我感觉到群论、数理逻辑等知识中具有类似的思想,但又不大一样。直到2017年11月左右,在浏览今日头条时看到葛立恒数时,知道了高德纳箭号表示法,才真正找到了我上面发现的“同算律”。

高德纳箭号表示法是种用来表示很大的整数的方法,由高德纳于1976年设计。它的意念来自幂是重复的乘法,乘法是重复的加法。n个箭头代表(n+2)级超运算,如4↑↑2=4-超4运算-2=256。

一个箭头:

2↑3=2×2×2=8

两个箭头:

2↑↑3=2↑2↑2(注意:此处要从右往左计算)=2↑4=16

三个箭头:

2↑↑↑3=2↑↑2↑↑2=2↑↑2↑2=2↑↑4=2↑2↑2↑2=2↑2↑4=2↑16=65536

高德纳箭号表示法充分说明我初二的领悟是有价值的,但高德纳箭号表示法主要用来表示很大的整数,而我主要关注的是代数的基本骨架、构造原理,以及如何将其推广到更一般的情况和其哲学意义。


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